前置知识

函数极限性质

不等式性质：设$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x) = B$。
若$A>B$，则$\exists \delta >0$使得当$0<|x-x_0|<\delta$时有$f(x)>g(x)$。不可为$A\ge B$
若$\exists \delta >0$使得当$0<|x-x_0|<\delta$时有$f(x)\ge g(x)$，则$A\ge B$。若为$f(x)>g(x)$，结论仍为$A\ge B$。

保号性：设$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A$ （极限存在时才有保号性的讨论）
若$A>0$，则$\exists \delta >0$使得当$0<|x-x_0|<\delta$时有$f(x)>0$。不可为$A\ge 0$
若$\exists \delta >0$使得当$0<|x-x_0|<\delta$时有$f(x)\ge 0$，则$A\ge 0$。若为$f(x)>0$，结论仍为$A\ge 0$。

局部有界性：设$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A$ ，则$f(x)$在$x_0$的某空心邻域$U_0(x_0,\delta)={x|0<|x-x_0|<\delta}$内有界。即$\exists \delta >0$与$M>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|\le M$。

以上过程在$x\to x_0+0,x\to x_0-0,x\to +\infty,x\to -\infty$上也有类似结论。在描述$x\to \infty$时可以使用下面第一种情形无穷大时的话术。

函数无穷大性质

函数存在极限是指极限为有限值，例如$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$是属于极限不存在情形。

若$\forall M>0,\exists X>0$，使得当$|x|>X$时就有$|f(x)|>M$，则称$x\to\infty$时$f(x)$为无穷大量，记为$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$。

若$\forall M>0,\exists \delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时就有$|f(x)|>M$，则称$x\to x_0$时$f(x)$为无穷大量，记为$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$。

区分无穷大和无界

函数连续相关概念及其判断

若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在点$x=x_0$处连续。所以如果$f(x)$在点$x=x_0$处连续，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$是一定存在的。

若$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在点$x=x_0$处右连续。左连续同理。$f(x)$在点$x_0$连续$\leftrightarrow$$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续。

若$f(x)$在$(a,b)$内任一点均连续，则称$f(x)$在$(a,b)$内连续。若再补上$f(x)$在$x=b$处左连续，在$x=a$处右连续，则$f(x)$在$[a,b]$上连续。

连续性运算法则：

  • 设$f(x)$和$g(x)$都在点$x=x_0$连续，则$f(x)\pm g(x)$与$f(x)g(x)$在点$x=x_0$处连续，当$g(x_0)\not=0$时$f(x)/g(x)$在点$x=x_0$处也连续。(四则运算)
  • (设$u=\phi(x)$在点$x=x_0$处连续，$y=f(u)$在$u=u_0(u_0=\phi(x_0))$处连续，则$f[\phi(x)]$在点$x=x_0$处连续。(复合函数)
  • 设$y=f(x)$在区间$I_x$上单调且连续，则反函数$x=\phi(y)$也在对应的区间$I_y={y|y=f(x),x\in I_x}$上连续且有相同的单调性。(反函数)

连续函数的性质

局部保号性：设$f(x)$在点$x=x_0$处连续，且$f(x_0)>0$(或$<0$)，则$\exists \delta >0$使得当$0<|x-x_0|<\delta$时$f(x)>0$(或$<0$)

有界区间上的性质：

  • (有界性) 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界，即存在常数$M$，使得$|f(x)|\le M$ $(x\in [a,b])$。结合函数极限的局部有界性，若存在$x_0\in(a,b)$是$f(x)$的第一类间断点，即$f(x)$在$[a,b]/ {x_0}$上连续，$f(x)$在$[a,b]$上也是有界的。
  • (存在最大最小值) 即有界区间上的连续函数必然存在最大值和最小值。但开区间不一定。
  • (介值定理)设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(a)\not= f(b)$，则对于$f(a)$与$f(b)$之中的任何数$\eta$，必$\exists c(a<c<b)$，使得$f( c )=\eta$。推论有当$f(a)$与$f(b)$异号时，则必$\exists c(a<c<b)$，使得$f( c )=0$(**连续函数的零点存在定理)**。

有界性和存在最大最小值性质不能忽略有界区间这一重要条件，并且结合这两个性质可以得到有界区间的上下确界就是其最大值最小值。而介值定理和零点存在定理可以推广到开区间情形(利用极限保号性可以形容证明)。

连续函数性质相关证明题

  1. 设$f(x)$在$[0,1]$连续，且$f(0)=f(1)$，证明：在$[0,1]$上至少存在一点$\xi$，使得$f(\xi)=f(\xi +\frac{1}{n})$。

    🔍 点击显示解答 令$F(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n})$，即证$F(x)$在$[0,1-\frac{1}{n}]$存在零点，因为$f(x)$在$[0,1]$连续，所以$F(x)$在$[0,1-\frac{1}{n}]$也连续。所以要证明$F(x)$的零点存在，可以利用连续函数的零点存在定理，那么现在就要找到异号的两点。
    通过观察可以找到$F(0)=f(0)-f(\frac{1}{n})$，$F(\frac{1}{n})=f(\frac{1}{n})-f(\frac{2}{n})$，$F(\frac{2}{n})=f(\frac{2}{n})-f(\frac{3}{n})$，$F(\frac{n-1}{n})=f(\frac{n-1}{n})-f(1)$，所以有$F(0)+F(1)+··+F(\frac{n-1}{n})$$=f(0)-f(1)=0$。于是$F(0)$，$F(\frac{1}{n})$,…,$F(\frac{n-1}{n})$中全部为0或者至少有两个值异号。
    那么由连续函数的介值定理(零点存在定理)可知，必然$\exists \xi \in [0,1-\frac{1}{n}]$使得$F(\xi)=0$，即$f(\xi)=f(\xi +\frac{1}{n})$

  2. 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=0$，证明：存在$\xi \in (-\infty,+\infty)$，使得$f(\xi)+\xi=0$

    🔍 点击显示解答 设$F(x)=f(x)+x$
    解法一：利用无穷大的定义解答。由于$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=0$，那么$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=o(x)$，有$\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)$$=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)+\lim\limits_{x\to +\infty}x$=$\lim\limits_{x\to +\infty}o(x)+x=+\infty$。根据无穷大定义，$\forall M_1 >0$，$\exists X_1 >0$，使得存在$x_1 \in (X_1,+\infty)$，使得$f(x_1)>M_1>0$。同样可以找$f(x_2) < M_2 < 0 $。根据连续函数的零点存在定理可证存在$F(\xi)=0$
    解法二：利用保号性解答。$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{F(x)}{x}$$=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}+1=1>0$。根据极限保号性，$\exists X_1 >0$，使得存在$x_1 \in (X_1,+\infty)$使得$f(x_1)>0$。后面同解法一一样处理。

  3. 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$连续，存在极限$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A$及$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=B$。证明$(1)$设$A<B$，则对$\forall \mu \in (A,B)$，$\exists \xi \in (-\infty,+\infty)$，使得$f(\xi)=\mu$；$(2)$$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$有界

    🔍 点击显示解答 解法一： 利用函数性质找到确定的点
    $(1)$$\forall \mu \in (A,B)$，由于$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=A \lt \mu$，根据极限不等式性质，$\exists X_1 >0$，当$x_1 \in (X_1,+\infty)$时，有$f(x_1)\lt\mu$。对于左侧同样可以找到$f(x_2)>\mu$。所以根据连续函数介值定理可以证 $\exists \xi \in (x_1,x_2) \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $f(\xi)=\mu$。(或者构造$F(x)=f(x)-\mu$来利用保号性证明)
    $(2)$ 由于$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=A$，根据极限的局部有界性，即$\exists X_1 $，使得当$x \in (X_1,+\infty)$时有界，同样可以说明 $\exists X_2(X_2 \lt X_1)$，使得当 $x \in(-\infty,X_2)$上有界。再由于$f(x)$在$[X_2,X_1]$上连续，所以根据连续函数的有界性得出$f(x)$在$[X_2,X_1]$有界。从而$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$有界。


    解法二： 将无穷区间转化成有界区间
    令$t=arctanx$，即$x=tant$，因为$x \in (-\infty,+\infty)$，所以$t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。从而可以设$$F(x)=\left\{ \begin{array} aA, & t=-\frac{\pi}{2},\\f(tant),& t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\\B, & t=\frac{\pi}{2}, \end{array} \right.$$ 由复合函数的连续性可知$F(t)=f(tant)$在$t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上连续。且$\lim\limits_{t\to -\frac{\pi}{2}+0}F(t)$$=\lim\limits_{t\to -\frac{\pi}{2}+0}f(tant)$$=\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A$$=F(-\frac{\pi}{2})$。所以$F(x)$在点$x=-\frac{\pi}{2}$处连续，同理可得$F(x)$在点$x=\frac{\pi}{2}$处连续，即$F(x)$在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上连续。
    $(1)$ 由于$F(-\frac{\pi}{2})\lt\mu\lt F(\frac{\pi}{2})$，根据连续函数介值定理，$\exists t_0 \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$使得$F(t_0)=\mu$，令$\xi=tant_0$，则存在$\xi \in (-\infty,+\infty)$ 有$f(\xi)$$=f(tant_0)=F(t_0)$$=\mu$
    $(2)$由于$F(x)$在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上连续，根据连续函数有界性即$F(x)$在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上有界，那么也必然在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上有界。而当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$f(x)=f(tant)=F(t)$，$t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。因此$f(x)$在$x\in(-\infty,+\infty)$时有界。

  4. 设$f(x)$在$(a,b)$内连续，且$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infty$，$\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=-\infty$，证明：$f(x)$在$(a,b)$内有最大值。

    🔍 点击显示解答 取$x_0 \in (a,b)$
    根据题意有$\forall M_1 \lt f(x_0)$，$\exists \delta_1 >0$，满足 $\forall x \in (a,a+\delta_1)$时，有$f(x) \lt M_1\lt f(x_0)$。同理也有，$\forall M_2 \lt f(x_0)$，$\exists \delta_2 >0$，满足$\forall x \in (b-\delta_2,b)$时，有$f(x) \lt M_2\lt f(x_0)$。 并且根据连续函数在闭区间上一定有最大最小值，$f(x)$在$[a+\delta_1,b-\delta_2] $$\in(a,b)$上必有最大值。设其最大值为$M$，则必有$f(x_0)\le M$。通过上述分析，当$x \in (a,a+\delta_1)$，有$f(x) \lt M_1 \lt f(x_0) \le M $；当$x \in [a+\delta_1,b-\delta_2]$，有$f(x)\lt M$；当$x \in (b-\delta_2,b)$，有$f(x) \lt M_2 \lt f(x_0) \le M $。即$M$为$f(x)$在区间$(a,b)$上的最大值，得证。

间断点的判定

间断点概念

第一类间断点：左右极限均存在的间断点

  • 可去间断点：左右极限都存在且相等的间断点
  • 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等的间断点

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点

  • 无穷间断点：左右极限至少有一个为无穷，如$x=0$为$f(x)=\frac{1}{x}$的无穷间断点
  • 震荡间断点：如$x=0$为$f(X)=sin\frac{1}{x}$的震荡间断点

题型

再说吧