具体行列式计算

么字型

型如：$\begin{vmatrix} 0 & 0&-1&1 \\ 0 & -2&2&0 \\ -3&3&0&0 \\ 4&3&2&1 \end{vmatrix}$
该题型有四种方法：

递推法，将么字较远两端顶点展开可以得到递推式，该方法主要用于三对角处，这里不介绍。
行(列)变换其一，如上，从最右边一列开始，逐列(倍)加到前面一列，消去对角线旁边那一条线，得到爪型$\begin{vmatrix} 0 & 0&0&1\\ 0 & 0&2&0\\0&3&0&0\\10&6&3&1 \end{vmatrix}$
行(列)变换其二，如上，从最左边一列开始，逐列(倍)加到后面一列，消去对角线，得到爪型$\begin{vmatrix} 0 & 0&-1&0\\ 0 & -2&0&0\\-3&0&0&0\\4&7&9&10 \end{vmatrix}$
李范书上的方法，按么字底这一行展开，实践证明该方法基本通杀该题型，也秒杀其他方法。

显式低阶么字

计算行列式$\begin{vmatrix} \lambda & -1&0&0\\ 0 & \lambda&-1&0\\0&0&\lambda&-1\\4&3&2&\lambda+1 \end{vmatrix} $

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用方法 2 或 3 去消去时，如果不是倍数关系就会略显麻烦。用方法 4 可以直接写答案 $4+3\lambda +2\lambda^2 +\lambda^3 + \lambda^4$

显式 n 阶么字

n 阶行列式$\begin{vmatrix}2&0&\cdots&0&2\\-1&2&\cdots&0&2\\\vdots&\vdots&\ddots &\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&2&2\\0&0&\cdots&-1&2 \end{vmatrix}$

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用方法 4 展开最后一列有：$2^n+2^{n-1}+...+2=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2^{n+1}-2$
计算 $n$ 阶行列式 $D_n=$$\begin{vmatrix}a_0&-1&0&\cdots&0&0\\ a_{1}&x&-1&\cdots&0&0\\a_2&0&x&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots &\vdots&\vdots\\a_{n-2}&0&0&\cdots&x&-1\\a_{n-1}&0&0&\cdots&0&x \end{vmatrix}$

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用方法 4 展开第一列有：$a_{n-1}+xa_{n-2}+..+x^{n-1-i}a_i+...+x^{n-1}a_0$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}x^{n-1-i}a_i$

隐式低阶么字

计算$\begin{vmatrix}a&b&b&b&b\\ c&a&b&b&b\\ c&c&a &b&b\\ c&c&c&a&b\\ c&c&c&c&a \end{vmatrix}$

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各行减上行，得到 $\begin{vmatrix}a&b&b&b&b\\c-a&a-b&0&0&0\\0&c-a&a-b &0&0\\0&0&c-a&a-b&0\\0&0&0&c-a&a-b \end{vmatrix}$，再展开第一行即可。

X 型

该题型形式和解法都比较固定。凑方阵即可，熟悉后可直接写答案。

直接 x 型

计算该 6 阶行列式$\begin{vmatrix}a_1&0&0&0&0&b_1\\ 0&a_2&0&0&b_2&0\\ 0&0&a_3 &b_3&0&0\\ 0&0&c_3 &d_3&0&0\\ 0&c_2&0&0&d_2&0\\c_1&0&0&0&0&d_1 \end{vmatrix}$

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经过行列变换成 $\begin{vmatrix}a_1&b_1&0&0&0&0\\c_1&d_1&0&0&0&0\\ 0&0&a_3 &b_3&0&0\\ 0&0&c_3 &d_3&0&0\\ 0&0&0&0&d_2&c_2\\0&0&0&0&b_2&a_2 \end{vmatrix}$ $=(a_1d_1-b_1c_1)$ $(a_2d_2-b_2c_2)$ $(a_3d_3-b_3c_3)$
四阶同样如此，凑方阵成拉普拉斯形式即可得答案。

类 x 型

形式略有差别，解法相同。

$\begin{vmatrix} 0 & a&b&0 \\ a & 0&0&b \\ 0&c&d&0 \\ c&0&0&d \end{vmatrix}$

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经过行列变换成 $\begin{vmatrix} b&a&0&0 \\ d & c&0&0 \\ 0&0&a&b \\ 0&0&c&d \end{vmatrix}$ $=-(ad-bc)^2$

范德蒙式

题目一般比较隐晦，切入点在找出全为 1 的那一关键行。但是有时候 $a_i$ 为 1 时，$a_i^x$ 也都为 1，要区分这两个。关键行紧邻的另一行一定包括所有 $a_i$

倍加凑一型

$\begin{vmatrix}6&7&8&9\\4^2&3^2&2^2&1 \\4^3&3^3&2^3&1 \\4&3&2&1 \end{vmatrix}$

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最后一行加到第一行后：$10\begin{vmatrix}1&1&1&1 \\4^2&3^2&2^2&1\\4^3&3^3&2^3&1 \\4&3&2&1 \end{vmatrix}$ $=120$
设 $a_1,a_2,a_3$ 为互不相等的实数，计算$\begin{vmatrix}3&3&3\\3a_1+5&3a_2+5&3a_3+5 \\3a_1^2+5a_1+7&3a_2^2+5a_2+7&3a_3^2+5a_3+7\end{vmatrix}$

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直接看出答案：$27(a_3-a_2)(a_3-a_1)(a_2-a_1)$
计算行列式$\begin{vmatrix}b^2+c^2&a^2+c^2&a^2+b^2\\a&b&c \\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}$

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最后一行加到第一行，直接看出答案：$(a^2+b^2+c^2)(a-b)(a-c)(b-c)$
利用范德蒙行列式计算$\begin{vmatrix}a&a^2&bc\\b&b^2&ac \\c&c^2&ab\end{vmatrix}$

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第一列倍乘 $(a+b+c)$ 加到第三列得到: $\begin{vmatrix}a&a^2&a^2+ac+ab+bc\\b&b^2&b^2+ac+ab+bc \\c&c^2&c^2+ac+ab+bc\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}a&a^2&ac+ab+bc\\b&b^2&ac+ab+bc \\c&c^2&ac+ab+bc\end{vmatrix}$ $=(ac+ab+bc)(a-b)(a-c)(c-b)$

提系数凑一型

计算行列式$\begin{vmatrix}1&1&1&1 \\2&2^2&2^3&2^4 \\3&3^2&3^3&3^4 \\ 4&4^2&4^3&4^4 \end{vmatrix}$

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二三四行分别提出 2、3、4 得到: $\begin{vmatrix}1&1&1&1 \\1&2&2^2&2^3 \\1&3&3^2&3^3 \\ 1&4&4^2&4^3 \end{vmatrix}$ $=24*12=288$
不要被第一行的 1 迷惑
设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 为非零常数，计算行列式$\begin{vmatrix}a_1^3&a_1^2b_1&a_1b_1^2&b_1^3 \\a_2^3&a_2^2b_2&a_2b_2^2&b_2^3 \\a_3^3&a_3^2b_3&a_3b_3^2&b_3^3 \\ a_4^3&a_4^2b_4&a_4b_4^2&b_4^3 \end{vmatrix}$

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一二三四行分别提出 $a_i^3$ 得到 $a_1^3a_2^3a_3^3a_4^3$ $\begin{vmatrix}1&\frac{a_1}{b_1}&\frac{a_1^2}{b_1^2}&\frac{a_1^3}{b_1^3} \\1&\frac{a_2}{b_2}&\frac{a_2^2}{b_2^2}&\frac{a_2^3}{b_2^3} \\1&\frac{a_3}{b_3}&\frac{a_3^2}{b_3^2}&\frac{a_3^3}{b_3^3} \\ 1&\frac{a_4}{b_4}&\frac{a_4^2}{b_4^2}&\frac{a_4^3}{b_4^3} \end{vmatrix}$ $=\displaystyle\prod_{i=1}^{4}a_i^3\displaystyle\prod_{1\le i < j\le4}(\frac{b_j}{a_j}-\frac{b_i}{b_j})$

行(列)和相等

基本类型为主对角线 ab 型，副对角线的话可以通过行列变换变到主对角线上来。具体行列变换的处理手段有很多种，选择一种自己熟悉的即可。

ab 型

计算行列式$\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\\ b&a&b&\cdots&b\\ b&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b&b&b&\cdots&a \end{vmatrix}$

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每一列加到第一列得到: $[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&b&b&\cdots&b\\ 1&a&b&\cdots&b\\ 1&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&b&b&\cdots&a \end{vmatrix}$
然后将 2 至 n 行都减去第 1 行化成上三角式: $[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&b&b&\cdots&b\\ 0&a-b&0&\cdots&0\\ 0&0&a-b&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a-b \end{vmatrix}$ $=(a+(n-1)b)(a-b)^{n-1}$
本题答案当结论记
计算行列式$\begin{vmatrix}1&1&1&0 \\1&1&0&1\\1&0&1&1 \\0&1&1&1 \end{vmatrix}$

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第一列和第四列交换，第二列和第三列交换。随后成主对角线 ab 型，代入上题公式得答案为 3.

隐藏 ab 型

计算行列式$\begin{vmatrix}1&4&3&2\\2&1&4&3\\3&2&1&4 \\4&3&2&1 \end{vmatrix}$

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同样后面毎一列加到第一列后，得到: $10\begin{vmatrix}1&4&3&2\\1&1&4&3\\1&2&1&4 \\1&3&2&1 \end{vmatrix}$
然后从 2 至 n 行从下至上依次减去上一行得到: $10\begin{vmatrix}1&4&3&2\\0&-3&1&1\\0&1&-3&1 \\0&1&1&-3 \end{vmatrix}$。
代入公式得 $10*(-3+2)(-4)^2=-160$

其他

其他变式，但是仍然利用和相等的性质来化上(下)三角来处理。

计算行列式$\begin{vmatrix}1+a&1&1&\cdots&1\\ 2&2+a&2&\cdots&2\\ 3&3&3+a&\cdots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n&n&n&\cdots&n+a \end{vmatrix}$

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这里只有列和相等，所以后面毎一行加到第一行后，得到: $[a+\frac{n(n+1)}{2}]\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots&1\\ 2&2+a&2&\cdots&2\\ 3&3&3+a&\cdots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n&n&n&\cdots&n+a \end{vmatrix}$
然后将第一行倍乘后依次减去下面各行得到: $[a+\frac{n(n+1)}{2}]\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots&1\\ 0&a&2&\cdots&0\\ 0&0&a&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a \end{vmatrix}$ $=[a+\frac{n(n+1)}{2}]a^{n-1}$
计算行列式$\begin{vmatrix}a&0&-1&1\\0&a&1&-1\\-1&1&a&0 \\1&-1&0&a \end{vmatrix}$

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这题有点怪，哪怕用了行列相等的性质，也不是很好处理，倒不如直接凑更多的 0 硬算。答案是 $a^4-4a^2$。

爪型

利用主(副)对角线来消除一行或一列成为上(下)三角型。

介绍一个加边法，如果除主对角线元素以外，其余列均相同，则可以通过加边法将行列式变化成爪型。

计算行列式$\begin{vmatrix}1&0&0&1\\0&2&0&1\\0&0&3&1 \\1&1&1&4 \end{vmatrix}$

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行变换后有：$\begin{vmatrix}1&0&0&1\\0&2&0&1\\0&0&3&1 \\0&0&0&\frac{13}{6} \end{vmatrix}$ $=13$
计算行列式$\begin{vmatrix}a+b_1&a&\cdots&a\\a&a+b_2&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\a&a&\cdots&a+b_n \end{vmatrix}$

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加边后有: $\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots&0\\a&a+b_1&a&\cdots&a\\a&a&a+b_2&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\a&a&a&\cdots&a+b_n \end{vmatrix}$
第二列到第 n+1 列依次减去第一列得到: $\begin{vmatrix}1&-1&-1&\cdots&-1\\a&b_1&0&\cdots&0\\a&0&b_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\a&0&0&\cdots&b_n \end{vmatrix}$
再回到正常的爪型处理，得到答案: $b^n+b^{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2$
$x_1x_2x_34_4\not= 0$，计算行列式$\begin{vmatrix}x_1+a_1^2&a_1a_2&a_1a_3&a_1a_4\\a_2a_1&x_2+a_2^2&a_2a_3&a_2a_4\\a_3a_1&a_3a_2&x_3+a_3^2&a_3a_4 \\a_4a_1&a_4a_2&a_4a_3&x_4+a_4^2\end{vmatrix}$

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每列除对角线外除去对角线外，拿掉公因倍数后，按照$a_1,a_2,a_3,a_4$排列，所以可以加边得到：$\begin{vmatrix}1&0&0&0&0\\a_1&x_1+a_1^2&a_1a_2&a_1a_3&a_1a_4\\a_2&a_2a_1&x_2+a_2^2&a_2a_3&a_2a_4\\a_3&a_3a_1&a_3a_2&x_3+a_3^2&a_3a_4 \\a_4&a_4a_1&a_4a_2&a_4a_3&x_4+a_4^2\end{vmatrix}$
第一列倍乘后分别用来减后面所有列得到:$\begin{vmatrix}1&-a_1&-a_2&-a_3&-a_4\\a_1&x_1&0&0&0\\a_2&0&x_2&0&0\\a_3&0&0&x_3&0 \\a_4&0&0&0&x_4\end{vmatrix}$
化为爪型后可以得到答案：$x_1x_2x_3x_4(1+\displaystyle\sum_{i=1}^{4}\frac{a_i^2}{x_i})$

三对角线型

即非零元素只出现在对角线及其上下两条斜线上，有两种方法解答：

数学归纳法，从第一项开始写几项观察规律，然后用数学归纳法证明(第一，第二归纳法)。
递推法，找出n阶行列式与n-1阶或n-1阶与n-2阶行列式之间的关系，然后按照数列技巧来求值。

其实还有姜晓千老师提的差分方程方法。但是其实递推法已经可以解决一切了，个人觉得专精递推法就足够了。

n阶重复式

计算$D_n=$$\begin{vmatrix}a&b&&&\\c&a&b&&\\&\ddots&\ddots&\ddots& \\&&c&a&b \\&&&c&a\end{vmatrix}$$(a^2-abc\ge 0)$

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这题可以推出一般三对角线式的结论，推导过程太麻烦省略。记录此题主要是为了第一步的推导通式：$D_n=aD_{n-1}-bcD_{n_2}$，不管是第一列展开还是第一行展开，第一步一定先得到这个推导式。然后在继续做。
该题答案也有通式，这个可以按需求记忆：$D_n = \begin{cases} \frac{\mu^{n+1}-k^{n+1}}{\mu-k} &k\not= \mu\\ (n+1)\mu^n &k=\mu\\ \end{cases}$。其中$k$和$\mu$分别为$x^2-ax+bc=0$的两个根。
计算行列式$D_n=$$\begin{vmatrix}2&-1&&&\\-1&2&-1&&\\&\ddots&\ddots&\ddots& \\&&-1&2&-1 \\&&&-1&2\end{vmatrix}$

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按第一列展开或者推导通式可得：$D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$，然后$D_n-D_{n-1}=$$D_{n-1}-D_{n-2}=$$...=$$D_2-D_1=1$，所以$D_n=D_{n-1}+1$$=D_{n-2}+2$$=...$$=D_1+n-1=n+1$
这也是该题型解法通式。
计算行列式$D_n=$$\begin{vmatrix}1-a&a&&&\\-1&1-a&a&&\\&\ddots&\ddots&\ddots& \\&&-1&1-a&a \\&&&-1&1-a\end{vmatrix}$

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按第一列展开或者推导通式可得：$D_n=(1-a)D_{n-1}-aD_{n-2}$，然后$D_n+aD_{n-1}=$$D_{n-1}+aD_{n-2}=$$...=$$D_2+aD_1=1$，所以$D_n=-aD_{n-1}+1$$=a^2D_{n-2}+1-a$$=-a^3D_{n-3}+1-a+a^2$$=...$$=(-1)^{n-1}D_1+1-a+a^2+..+(-1)^{n-2}a_{n-2}$$=1-a+a^2+...+(-1)^na_n$

低阶不重复式

由于低阶并且不重复，如果写递推式，那应该是比较简单并且能一步到底的递推式。并且由于不重复，所以需要注意是如何增加的，如下题便是从左上至右下阶数增加，与上述题目相反。上述n阶重复题型无需在意这个，采用了从右下至右上阶数增加只是为了方便展开。

设$x\not=0$，计算行列式$D_4=$$\begin{vmatrix}x&x&0&0\\1&1+2x&2x&0\\0&2x&2+3x&3x \\0&0&3&3+4x \end{vmatrix}$

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由于是低阶行列式，可以通过行列式性质化简后展开做。简单说一下：第一行提出x然后第二行减去第一行，然后第二行提出2x，以此类推。可以很快得到答案。写递推式(左上至右下阶数增加)：$D_4=(3+4x)D_3-9xD_2=(3+4x)[(2+3x)D_2-4xD_1]-9xD_2$，由于$D_2=2x^2,D_1=x$，所以$D_4=24x^4$。观察这个递推式可以发现左上至右下阶数增加时，递推式的规律和上述题目也大同小异。

其他

至于一些无法归类的题型，一定离不开两点，凑0和展开。总而言之，利用性质化简行列式凑出更多0000，然后展开。

计算行列式$\begin{vmatrix}a^2&(a+1)^2&(a+2)^2&(a+3)^2\\b^2&(b+1)^2&(b+2)^2&(b+3)^2\\c^2&(c+1)^2&(c+2)^2&(c+3)^2 \\d^2&(d+1)^2&(d+2)^2&(d+3)^2 \end{vmatrix}$

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利用行列式性质进行列变换可以凑出来一列0，直接看出来答案为0。
若$\begin{vmatrix}\lambda -a&-1&-1\\-1&\lambda -a&1 \\-1&1&\lambda -a\end{vmatrix}=0$，则$\lambda =$

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只要凑0然后展开，所以处理有多种，这里选择第二列加到第一列变成:$(\lambda -a-1)\begin{vmatrix}1&-1&-1\\1&\lambda -a&1 \\0&1&\lambda -a\end{vmatrix}$
然后第二行减去第一行得到:$(\lambda -a-1)\begin{vmatrix}1&-1&-1\\0&\lambda +1-a&2 \\0&1&\lambda -a\end{vmatrix}$$=(\lambda -a-1)[(\lambda -a+1)(\lambda -a)-2]$$=(\lambda -a -1)^2(\lambda -a+2)$
所以$\lambda =a+1$或者$a-2$
计算行列式$\begin{vmatrix}\lambda&0&0&\mu\\\mu&\lambda&\mu&\mu\\\lambda&\mu&\lambda&\mu \\\mu&\mu&\mu&\lambda \end{vmatrix}$

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第一行有两个0了，所以可以直接展开第一行。因为还要化更简的话，需要凑出一行或一列三个0，但这个行列式显然不好凑，所以倒不如直接展开第一行。原式$=\lambda \begin{vmatrix}\lambda&\mu&\mu\\\mu&\lambda&\mu \\\mu&\mu&\lambda \end{vmatrix}$$-\mu\begin{vmatrix}\mu&\lambda&\mu\\\lambda&\mu&\lambda \\\mu&\mu&\mu \end{vmatrix}$$=\lambda(\lambda +2\mu)(\lambda -\mu)^2$$+\mu\begin{vmatrix}0&\lambda - \mu&0\\\lambda&\mu&\lambda \\\mu&\mu&\mu \end{vmatrix}$$=\lambda(\lambda +2\mu)(\lambda -\mu)^2$
计算行列式$\begin{vmatrix}1&a&0&0\\0&1&a&0\\0&0&1&a \\a&0&0&1 \end{vmatrix}$

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这种形式看单独的那个点在哪，它在哪就展开那一行或列，这里展开第一列得到答案：$1-a^4$

抽象行列式

这部分和后面内容息息相关，会用到矩阵、秩、向量和特征值等知识点，默认已经熟知。也是由于这个原因导致这部分题型分类十分困难。

列向量相关题型

方法论：

利用行列式性质来列变换，将未知变已知
特值法，将矩阵设成最简单的值来处理
利用相似矩阵来处理

已知两个行列式，求第三个行列式

将第三个未知值的行列式转化成已知两个行列式的值

设4×4矩阵$A=(\alpha,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3),B=(\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$，其中$\alpha,\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4$均为4维列向量，且$|A|=4,|B|=1$，则行列式$|A+B|=$
设4阶矩阵$A=(\alpha,\gamma_1,2\gamma_2,3\gamma_3),B=(\beta,\gamma_1,-\gamma_2,\gamma_3)$，且$|A|=6,|B|=2$，求$|A+B|$
设4阶矩阵$A=(\alpha,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3),B=(\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_1)$，且$|A|=a,|B|=b$，求$|A+B|$
设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2$均是4维列向量，且$|(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1)|=a$，$|(\alpha_1,\alpha_2,\beta_2,\alpha_3)|=b$，求$|(\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1,\beta_1+\beta_2)|$
设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2$均是4维列向量，且$|A|=$$|(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1)|=1$，$B=$$|(\alpha_3,\alpha_1,\alpha_2,\beta_2)|=2$，求$|A-2B|$
设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2$均是4维列向量，且$|A|=$$|(\alpha,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)|=2$，$B=$$|(\beta,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)|=1$，求$|A^{-1}+B^{-1}|$

已知一个行列式，求第二个行列式

找到两者关系，将复杂的行列式往简单地行列式去转换，从而建立等式

设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$均为3维列向量，$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$B=$$(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+4\alpha_3,\alpha_1+3\alpha_2+9\alpha_3)$。若$|A|=1$，求$|B|$
设3阶方阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$B=$$(3\alpha_1-\alpha_2,3\alpha_2-2\alpha_1,2\alpha_3-\alpha_1-2\alpha_2)$，且$|B|=14$，求$|A|$

一个矩阵

已知3阶矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，且$|A|\not=0$，若$A^2=$$(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+4\alpha_3,\alpha_1+3\alpha_2+9\alpha_3)$，求$|A|$
设$|A|$为3阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是线性无关的向量组。若$A\alpha_1=\alpha_1+\alpha_2$，$A\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_3$，求$|A|$

矩阵性质

选取的都是与特征值和相似无关的题。手法更丰富一点。

同一矩阵的逆和伴随

把伴随转化成逆

设$A$是3阶矩阵，$A^*$是$A$的伴随矩阵，$A$的行列式$|A|=\frac{1}{2}$，求$|(3A)^{-1}-2A^*|$
已经$n$阶矩阵$A$满足$|A|=\frac{1}{n}$，求$|nA^*-(nA)^{-1}|$
设$A$是3阶非零实矩阵，且$A^T=kA^*$，$k$为非零常数，求$|A^{-1}|+|(A^*)^{-1}|$
设$A=$$\begin{vmatrix}1&0&1\\2&1&0 \\-3&2&-5\end{vmatrix}$，求$|[(E-A)^*]^{-1}|$

|E+A|形式但无特征值条件

一般含E都是用特征值和相似做的。这边没有，由于题目较少，不好总结。目前来看要么根据条件拆$E$，要么将另外一侧化成$E$。

证明：设$A$为$n$阶正交矩阵，且$|A|<0$，则$|A+E|=0$
设$A$为$2n+1$阶矩阵，且$9AA^T=E$，若$|A|>0$，求$|A-\frac{1}{3}E|$
设$n$维列向量$a=(\frac{1}{4},0,…,0,\frac{\sqrt3}{4})$，矩阵$A=E-2\alpha\alpha^T$,$B=E+4\alpha\alpha^T$，求$|E+A^nB^n|$

$|A^{x}+B^x|$等形式

左乘乘再右乘乘

设$A,B$为$3$阶矩阵，且$|A|=3$,$|B|=2$,$|A^{-1}+B|=2$,求$|A+B^{-1}|$
设$A,B$为$3$阶矩阵，且$|A|=2$,$|B|=-2$,$|A^{}+B|=2$,求$|A-B^{}|$
设$A,B$为$n$阶矩阵，且$|A|=2$,$|B|=-2$,求$|A^{-1}B^*-A^*B^{-1}|$
设$A,B$为$n$阶正交矩阵，且$|A|+|B|=0$,求$|A+B|$
设$A,B$为$2n$阶矩阵，$A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}$,$|A|=1$，求$|AB^{-1}+BA^{-1}|$

1.1的第六题

已知具体A和关系式求|B|

处理关系式，将所求行列式的矩阵单独摘出来，然后两边套行列式

设三阶方阵$A,B$满足$A^2B-A-B=E$，且$A=$$\begin{vmatrix}1&0&1\\0&2&0 \\-2&0&1\end{vmatrix}$，求$|B|$
设三阶方阵$A,B$满足$ABA^*=2BA^*+E$，且$A=$$\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&0 \\0&0&1\end{vmatrix}$，求$|B|$
设三阶方阵$A,B$满足$ABA^*-BA^*=BAB^*$，且$A=$$\begin{vmatrix}2&1&0\\1&3&0 \\0&0&4\end{vmatrix}$，求$|B^*|$
设矩阵$A=$$\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}$，矩阵$B$满足$BA=A+B-E$，求$|B|$

初等矩阵

没啥说的，记住三种初等矩阵的逆，能快速写出

设$A$为3阶矩阵，$|A|=3$，若交换$A$的第一行与第二行得到矩阵$B$，求$|BA^*|$
设$A$为$n$阶可逆矩阵，若交换$A$的第$i$行与第$j$行得到矩阵$B$，求$|AB^{-1}|$
设$A$为$n$阶方阵，且$|A|=2$，若交换$A$的第$i$行与第$j$行得到矩阵$B$，求$|B^{-1}B^*B^T|$

方块矩阵

这模块但在行列式中的简单题很简单，无非就是广义初等变换，但有些涉及拆分就有些困难。

设$A，B$为$n$阶方阵，且$|A|=a,|B|=b$，$|C|=$$\begin{vmatrix}O&A\\B&BA\end{vmatrix}$，求$|C|$
设$A，B$为$n$阶方阵，且$|A|=6,|B|=1$，$|C|=$$\begin{vmatrix}A&3A^*\\(\frac{B}{2})^{-1}&O\end{vmatrix}$，求$|C|$
设$A$为$m$阶方阵，设$B$为$n$阶方阵，设$C$为$l$阶方阵，且$|A|=a$，$|B|=b$，$|C|=c$，$D=$$\begin{vmatrix}O&O&A\\O&B&O \\C&O&O\end{vmatrix}$，求$|D|$
设$A，B$为$n$阶方阵，求$\begin{vmatrix}A^2&AB\\BA&B^2\end{vmatrix}$
设$A$为$n$阶方阵，$\alpha,\beta$为$n$维列向量，若$|A|=a$，$\begin{vmatrix}A&\alpha\\\beta^T&b\end{vmatrix}=0$，求$\begin{vmatrix}A&\alpha\\\beta^T&c\end{vmatrix}$
设$A$为$n$阶方阵，$\begin{vmatrix}A&\alpha\\\beta^T&b\end{vmatrix}=x$，$\begin{vmatrix}A&\alpha\\\beta^T&c\end{vmatrix}=y$，求$|A|$
**(超级难题)**设$A$为$n$阶方阵，$\alpha$为$n$维列向量，若$|A|\not=0$，$b\not=0$，且$A^T=-A$，$\begin{vmatrix}A&\alpha\\\beta^T&b\end{vmatrix}=c$，求$|A|$

正交矩阵

设$n(n\ge2)$阶矩阵$A$可逆，且$(A^*)^{-1}=(A^T)^*$，若$|A|<0$，求$|A|$
2.2的第一题和第二题

有关秩、特征值和相似题型

不满秩行列式值为0

设$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times m$矩阵，则当$m>n$时，必有行列式$|AB|=0$
设线性方程组$\begin{cases} \begin{aligned} &ax_1 + x_3 = 1\ &x_1 + ax_2 + x_3 = 0\ &x_1 + 2x_2 + ax_3 =0\ &x_1 + bx_2 =0 \end{aligned} \end{cases}$有解，若$\begin{vmatrix}a&0&1\\1&a&1 \\1&2&a\end{vmatrix}$$=4$，求$\begin{vmatrix}1&a&1\\1&2&a \\a&b&0\end{vmatrix}$
已知$A,B$均为$4$阶矩阵，$r(AA^T)=3$，$|AB|=$$\begin{vmatrix}2&a&0&-a\\-a&2&-5&b\\b&0&b&-2 \\0&-2&4&0 \end{vmatrix}$，且$\begin{vmatrix}2&a&-a\\-a&2&b \\b&0&-2\end{vmatrix}$$=5$，求$\begin{vmatrix}-a&-5&b\\2&0&-a \\b&b&-2\end{vmatrix}$

利用特征值求行列式

这类题一般会有很明显得能得出所有特征值的条件。先求特征值，再利用相似求所给的行列式

若4阶矩阵$A$和$B$相似，矩阵$A$的特征值是$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$，求行列式$|B^{-1}-E|$
设$3$阶矩阵$A$的特征值为$1,2,2$，求$|4A^{-1}-E|$
设3阶矩阵$A$的特征值为$2,-2,1$，且$B=A^2-A+E$，求$|B|$
设3阶矩阵$A$的特征值为$1,3,4$，求$|A^*+2A-9E|$
设$A$为4阶矩阵，且$r(A-E)=3$，$r(A-2E)=3$，$r(A-4E)=2$，求$|A+E|$
设$A$为3阶矩阵，且$r(2E-A)=1$，$r(E+A)=2$，求$|A^*|$
设$n$阶实对称矩阵$A$满足$A^4+2A^3+A^2+2A=O$，且$r(A)=r$，求$|A+3E|$
设$4$阶实对称矩阵$A$满足$A^4+A^3-A^2+A-2E=O$，且$r(A-E)=1$，求$|A^{-1}|$
设$A$是3阶方阵，且满足$|A-E|=|A+2E|$$=|2A+3E|=0$，求$|2A^*-3E|$
设3阶矩阵$A$与$B$相似，且$|A+2E|=0$，$1,-1$为$B$的两个特征值，求$|A+2AB|$
**(综合)**设$n$阶实对称矩阵$A$满足$A^2+A=O$，$n$阶矩阵$B$满足$B^2+B=E$，且$r(AB)=2$，求$|A+2E|$
设$\alpha,\beta$是三维列向量，矩阵$A=\alpha\beta^T$，若$\alpha^T\beta=2$，求$|A+E|$
设2阶矩阵$A$有两个不同特征值，$\alpha_1,\alpha_2$是$A$的线性无关的特征向量，且满足$A^2(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha_1+\alpha_2$，求$|A|$

相似矩阵

设$A$是3阶方阵，$\alpha$为3维列向量，$P=(\alpha,A\alpha,A\alpha^2)$为可逆矩阵，$B=P^{-1}AP$，且$A^3\alpha+2A^2\alpha=3A\alpha$，求$|A+E|$
设$n$阶矩阵$A$与$B$相似，满足$A^2=2E$，求$|AB+A-B-E|$
设$A$是$n$阶实对称矩阵，且$A^2=A$，$r(A)=r(r<n)$，求$|3E-A|$
设$A$是$n$阶矩阵，且$A^2=A$，$r(A)=r(r<n)$，求$|3E-A|$ （有点问题不证明其可相似对角化直接用特征值也能做）

其他

设$n$矩阵$A$满足$A^2=A,A\not=E$，证明$|A|=0$
设$3$阶矩阵$A$为上三角矩阵，向量$\alpha=(1,1,1)^T$满足$A\alpha=3\alpha$，$A^T\alpha=3\alpha$，$A$的特征值之和为3，求$|A|$

(代数)余子式相关问题

(代数)余子式求和问题

具体矩阵

设$|A|=$$\begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0&-7&0&0 \\5&3&-2&2 \end{vmatrix}$
1.求第4行元素的余子式之和 2.求第4行元素的代数余子式之和
已知$|A|=$$\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&2&2&1&1\\ 3&1&2 &4&5\\ 1&1&1&2&2\\ 4&3&1&5&0 \end{vmatrix}$，求$A_{41}+A_{42}+A_{43}$与$A_{44}+A_{45}$

每行元素和为k

设$A=(a_{ij})$为3阶矩阵，$A_{ij}$为代数余子式，若$A$的每行元素之和均为2，且$|A|=3$，求$A_{11}+A_{21}+A_{31}$
设$A=(a_{ij})$为$n$阶矩阵，$A_{ij}$为代数余子式，若$A$的每列元素之和均为$k(k\not=0)$，且$|A|=1$，求$A_{11}+A_{12}+…+A_{1n}$

对角线和

设$A$是3阶可逆矩阵，$A^{-1}$的特征值为$3,2,1$，则求$A_{11}+A_{22}+A_{33}$

所有代数余子式求和

可以找通过$A^*=|A|A^{-1}$，也可以将每行都依次全置为1，逐行求和。

设$A=$$\begin{vmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n-1\\ n&0&0&\cdots&0 \end{vmatrix}$,求$|A|$所有代数余子式的和
$A=$$\begin{vmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0 \\0&0&1&0 \end{vmatrix}$

根据余子式信息定参

设$A=$$\begin{vmatrix}a+1&b&3\\a&\frac{b}{2}&1 \\1&1&2\end{vmatrix}$，且$|A|=-\frac{1}{2}$，$-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$，求$a,b$
设3阶矩阵$A$的第一行元素为$1,2,3$，$|A|$的第二行余子式为$a+1,a+2,a+3$，求$a$

行列式形式的多项式$f(x)$

确定$f(x)$中$x$某次方的系数

没啥技巧，需要用上一点逆序数，细心就好

纯x

$f(x)=$$\begin{vmatrix}x&x&1&2x\\2&1&x&1\\1&x&2&-1 \\2&-1&1&x \end{vmatrix}$的$x^3$的系数为

x+k形式

$f(x)=$$\begin{vmatrix}x-3&3&-1&4\\5&x-8&0&-2\\0&4&x+1&1 \\2&2&1&x \end{vmatrix}$中$x^3$的系数

常数系数

$f(x)=$$\begin{vmatrix}1&x&-1&x^2+1\\x&1&x^2+1&-1\\-1&x^2+1&1&x \\x^2+1&-1&x&1 \end{vmatrix}$的常数项是

$f(x)=0$根的个数

$f(x)=$$\begin{vmatrix}x-1&x-2&x+1&x+2\\2x-2&2x-3&2x&2x+1\\3x-3&3x-4&3x+1&3x+2 \\4x&4x+4&6x&6x+6 \end{vmatrix}$，则方程$f(x)=0$d的根的个数为
$f(x)=$$\begin{vmatrix}2x+1&3&2x+1&1\\2x&-3&4x&-2\\2x+1&2&2x+1&1 \\2x&-4&4x&-2 \end{vmatrix}$，$g(x)=$$\begin{vmatrix}2x+1&1&2x+1&3\\5x+1&-2&4x&-3\\0&1&2x+1&2 \\2x&-2&4x&-4 \end{vmatrix}$，则方程$f(x)=g(x)$不同的根的个数为