一元函数微分
微分概念
一元函数可微性是函数增量与自变量增量之间关系的一种表达形式，另一种是导数。紧扣住该点，可以理解为什么$dx$可以直接写，但$dy$不行。
$dx$不是微分，对$dx$的具体理解是将$x$的一个有限区间$I$均分为${n \to \infty}$份，每一份是一个$dx$。所以$dx$就是自变量x足够小的一个增量，等同于$\Delta x$。同时，既然可微性描述了函数增量与自变量增量之间的关系，那么$\Delta x(dx)$就是描述$\Delta y$的基准。
而这个关系，根据定义有：设函数$y=f(x)$在$x=x_0$的某邻域有定义，当自变量$x=x_0$有增量$\Delta x$，若有$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中A是不依赖$\Delta x$的常数，那么称函数$y$在点$x_0$处是可微的。
所以只有当函数$y=f(x)$在该点处是可微的，才会有接下来$dy$的存在。$dy$的定义：此时$A\Delta x$叫做函数$f(x)$在这一点上相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作$dy$。(这里也对应着$dx$是基准的理解)。
同时以$dx$为基准的话，当$dx$足够小，那么$\Delta y-dy=o(\Delta x)$就已经小得可以忽略了。所以当$\Delta x \to 0$时，可以用切线来近似代替曲线段，完成“以直代曲”的目的。
导数定义
利用导数定义求极限
已知可导求极限
已知方程求极限
利用导数定义求导数
利用导数定义判断可导性
导数应用
反函数求导
设$y=f(x)$可导，且$y’\not=0$。
已知$y=f(x)$的反函数$x=\phi(y)$可导，则有：$\frac{dx}{dy}$$=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$=\frac{1}{f’(x)}$
又已知$y=f(x)$二阶可导，则有$\frac{d^2x}{dy^2}=$$\frac{d}{dy}\big(\frac{1}{y’}\big)$$=\frac{d}{dx}\big(\frac{1}{y’}\big)\frac{dx}{dy}$$=-\frac{y’’}{y^{‘3}}$（切记$\frac{1}{y’}=\frac{1}{f’(x)}$是以$x$为变量的函数）
设$f(x)$的反函数是$g(x)$，且$g(1)=2$，$g’(1)=3$，$g’’(4)=4$，求$f’(2)$，$f’’(2)$
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$f'(2)=\frac{1}{g'(1)}=\frac{1}{3}$
$f''(2)=-\frac{g''(1)}{[g'(1)]^3}=-\frac{4}{27}$设$f(x)$的反函数是$g(x)$，且$f(1)=2$，$f’(1)=3$，$f’’(4)=4$，求$g’(2)$，$g’’(2)$
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$g'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{3}$
$f''(2)=-\frac{f''(1)}{[f'(1)]^3}=-\frac{4}{27}$
理解一下12题的联系设$y=f(x)$的反函数是$x=\phi(y)$，且$f(x)=$$\int_1^{2x}e^{t^2}dt+1$，求$\phi’’(1)$
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有$f(x)$表达式可得$f(\frac{1}{2})=1$，即y=1时，x=$\frac{1}{2}$，再根据表达式式求得$f'(x)=2e^{4x^2}$，$f''(x)=16xe^{4x^2}$，所以$\phi(1)=-\frac{f''(\frac{1}{2})}{[f'(\frac{1}{2})]^3}$$=-\frac{1}{e^2}$
隐函数求导
方法论：
- 两端同时对自变量(如x)求导，再利用原式化简，始终把y当做x的函数
- 两端同时微分，得到型如$f(x,y)dy=$$g(x,y)dx$的形式
- 利用公式，若隐函数$y=y(x)$由二元方程$F(x,y)=0$确定，那么$y’(x)=-\frac{F’_x}{F’_y}$
实际第一个方法就够了，参考了武佬和李正元资料没有发现特别的题目，略过。
参数方程求导
公式：$\frac{dy}{dx}=\frac{y’(t)}{x’(t)}$；$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y’’(t)x’(t)-x’’(t)y’(t)}{[x’^(t)]^3}$
方法：一阶导数代公式，二阶导数看情况，如果是抽象函数利用$\frac{d^2y}{dx^2}$=$\frac{d}{dt}\big(\frac{y’(t)}{x’(t)}\big)\frac{1}{x’(t)}$来求，如果是具体函数也可以用公式
设$f’’(t)\not=0$，有$\begin{cases} \begin{aligned} x &= f’(t)\ y &= tf’(t)-f(t) \end{aligned} \end{cases}$，求$\frac{d^2y}{dx^2}$
设$y=y(x)$由$\begin{cases} \begin{aligned} &x = 3t^2+2t+3\ &e^ysint-y+1=0 \end{aligned} \end{cases}$确定，求$\frac{d^2y}{dx^2}\big|_{t=0}$
对数求导
对于幂指函数、连乘、连除、开方等形式一般采用对数求导
求法线、切线
已知曲线的极坐标方程为$r=1-cos\theta$，求该曲线上对应于$\theta=\frac{\pi}{2}$处的切线和法线的直角坐标方程
曲率圆与曲率半径
若曲线由直角坐标方程$y=y(x)$给出，则$K=\frac{|y’’|}{(1+y’^2)^{\frac{3}{2}}}$
若曲线由参数方程$\begin{cases} \begin{aligned} x &= x(t)\ y &= y(t) \end{aligned} \end{cases}$给出，则$K=\frac{|y’’x’-y’x’’|}{(x’^2+y’^2)^{\frac{3}{2}}}$
- 曲线$y^2=x$在点(0,0)处的曲率圆方程为____
