一元函数积分
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一元函数积分
一元函数积分的概念、性质与基本定理
这部分是证明题的基础，要明晰每一个知识点。
原函数与不定积分的概念和基本性质
若 $F’(x)=f(x)$ 或者 $d{F(x)}=f(x)dx$ 在区间 $I$ 上成立，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个 原函数。$f(x)$ 在区间 I 上的全体原函数称为 $f(x)$ 在区间 I 上的 不定积分。所以从定义上来说原函数一定可导(可微)。
原函数与不定积分的关系：若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int{f(x)}dx=F(x)+C$，$C$ 为任意常数。因为不定积分代表着全体原函数，所以 $C$ 不可忽略。
//原函数的有关问题涉及到变限积分，所以放在后面。//
一元函数微分浅谈
一元函数可微性是函数增量与自变量增量之间关系的一种表达形式，另一种是导数。紧扣住该点，可以理解为什么 $dx$ 可以直接写，但 $dy$ 不行。
$dx$ 不是微分，对 $dx$ 的具体理解是将 $x$ 的一个有限区间 $I$ 均分为 ${n \to \infty}$ 份，每一份是一个 $dx$。所以 $dx$ 就是自变量 x 足够小的一个增量，等同于 $\Delta x$。同时，既然可微性描述了函数增量与自变量增量之间的关系，那么 $\Delta x(dx)$ 就是描述 $\Delta y$ 的基准。
而这个关系，根据定义有：设函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域有定义，当自变量 $x=x_0$ 有增量 $\Delta x$，若有 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中 A 是不依赖 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y$ 在点 $x_0$ 处是可微的。
所以只有当函数 $y=f(x)$ 在该点处是可微的，才会有接下来 $dy$ 的存在。$dy$ 的定义：此时 $A\Delta x$ 叫做函数 $f(x)$ 在这一点上相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$。(这里也对应着 $dx$ 是基准的理解)。
同时以 $dx$ 为基准的话，当 $dx$ 足够小，那么 $\Delta y-dy=o(\Delta x)$ 就已经小得可以忽略了。所以当 $\Delta x \to 0$ 时，可以用切线来近似代替曲线段，完成“以直代曲”的目的。
求不定积分与求微分(求导)互为逆运算：已知 $F(x)$ 求 $f(x)$ 是微分(求导)运算：$dF(x)=f(x)dx(F’(x)=f(x))$；已知 $f(x)$ 求 $F(x)$ 是积分运算：$\int f(x)dx=F(x)$。
不定积分基本性质
$$
[\int f(x)dx]’= f(x) \qquad d\int f(x)dx = f(x)dx \
\int f’(x)dx = f(x)+C \qquad \int df(x)= f(x)+C \
\int kf(x)dx = k\int f(x)dx \
\int [f(x)]\pm g(x)]dx =\int f(x)dx \pm \int g(x)dx
$$
定积分概念与基本性质
定义：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分为 $\int_{b}^{a}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$，其中 $\lambda=\displaystyle\max_{1\le i \le n}{\Delta x_i}$。$f(x)$ 在 $[a,b]$ 存在定积分，也称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积。
对定义的几点补充：$(1)$ 可积指在某区间 $I$ 存在定积分，并非指不定积分；$(2)$ 定积分要求积分区间有限，被积函数有界，有一不满足则为反常积分；$(3)$ 构造积分和时，对区间 $[a,b]$ 的分割点和点 $\xi_i$ 在区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中的选取都是任意的，这里取极限是指区间长度趋于 0，区间数量趋于无穷时的积分和极限；$(4)$ 定积分是一个数，与不定积分截然不同，定积分存在时，其值只与被积函数及积分区间有关，与被积函数用什么字母无关：$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt$；$(5)$ 进一步形式可以写为 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$，对定积分考察的很多题型都从该式出发。
几何意义：给定区间的区域和；需要分正负。
**函数在区间上的可积性(存在性)**：
可积的必要条件：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
可积的充分条件：$(1)$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续；$(2)$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调；$(3)f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界且只有有限个间断点；$(4)f(x)$ 在 $[a,b]$ 上仅有有限个第一类间断点。四点满足其一即可推出可积，注意四点其实都可以推出函数在区间上有界。
基本性质：
- 线性性质：同区间可加性，常数因子可以向外提至积分符号前。
- 对区间的可加性：设 $a,b,c$ 为不相同的常数，且 $f(x)$ 在它们构成的最大区间上可积，则有 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$，其中 c 可以在 $[a,b]$ 之中，也可在 $[a,b]$ 之外。
- 改变有限个点的函数值并不改变其可积性与积分值。（怎么理解）
- 比较定理：设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $f(x)\le g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx\le\int_{a}^{b}g(x)dx$；另外还有一个 连续函数 定积分的比较定理：设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)\le g(x)$ 但 $f(x)\not\equiv g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx<\int_{a}^{b}g(x)dx$。
如果 $f(x)$ 与 $g(x)$ 不连续，可以考虑以下例子：设 $f(x)=0,g(x)=0$ 在 $[0,1]$ 上成立，仅只有 $g(0.5)=1$，即仅一点不等，则 $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}g(x)dx=0$，尽管 $f(0.5)<g(0.5)$。这里可以思考第三点性质。所以如果函数不连续，并且 $f(x)<g(x)$ 仅在有限个点成立，那么积分可能相等。
由此可以得到 3 个推论：$(1)$ 若 $f(x)\ge0,x\in[a,b]$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx\ge0$；$(2)\big|\int_{a}^{b}f(x)dx\big|\le\int_{a}^{b}|f(x)|dx$；$(3)$ 估值定理：设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$m\le f(x)\le M,f(x)\not\equiv m,f(x)\not\equiv M$，其中 m，M 是常数，则有 $m(b-a)<\int_{a}^{b}f(x)dx<M(b-a)$。 - 积分中值定理：设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得 $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)$。两个函数的：设函数 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 不变号，有 $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx$。
- 连续非负函数的积分性质：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)\ge 0$ 且 $f(x)$ 不恒等于零，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx >0$。这也是连续函数比较定理的应用。另外反过来也可以有：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续非负且 $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，则当 x $\in[a,b]$ 时，$f(x)\equiv0$。
- 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，若在 $[a,b]$ 的任意子区间 $[\alpha,\beta]$ 上总有 $\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=0$，则当 $x\in [a,b]$ 时，$f(x)\equiv0$（证明？）
变限定积分函数的性质与应用
设 $x_0\in[a,b]$ 为任意固定一点。
连续性：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则变上限积分 $\Phi(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)dt$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数。注意在给定区间能写出确定表达式的函数，就一定可积，可积是很弱的条件，但却可以推出变上限积分是连续的这相对更强的条件。
证明：
$\forall x,x+\Delta x\in[a,b]$，有 $\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(u)du$，由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，可以设 $|f(x)|\le M$，则 $0\le|\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)|\le \big|\int_{x}^{x+\Delta x}|f(u)|du\big|\le M|\Delta x|$。因此，由夹逼定理，$\forall x,x+\Delta x\in[a,b],$ 都有 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}[\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)]=0$，即 $\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。
可导性：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则变上限积分 $\Phi(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)dt$ 是 $[a,b]$ 上的可导函数，并且 $\Phi’(x)=f(x)$。
证明：
$\forall x,x+\Delta x\in[a,b]$，由导数定义有 $\Phi’(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}$，其中 $\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt$。由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以根据积分中值定理有，$\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt=f(\xi)\Delta x$。则 $Phi’(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(\xi)$，而当 $\Delta x \to 0$，由于 $\xi \in [x,x+\Delta x]$，有 $\xi\to x$，且 $f(x)$ 连续，即 $\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(\xi)=f(x)$。
所以有 $\Phi’(x)=f(x)$。原函数存在定理其实就是该定理的另外一种表达方式，所以证明方式相同。
变下限积分的推论：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则变下限积分函数 $\Phi(x)=\int_{x}^{b}f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，并且有 $\frac{d}{dx}\int_{x}^{b}f(t)dt=-\frac{d}{dx}\int_{b}^{x}f(t)dt=-f(x)$。
含复合函数处理：
- 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续（需要对变限积分求导就要求被积函数连续），**可导函数 $\phi(x)$ 的定义域（该定义域只需保证 $\phi(x)$ 在其中可导，不一定在 [a, b] 中）为 $[a,b]$ 且值域不超过区间 $[a,b]$**，则 $\frac{d}{dx}\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt=f[\phi(x)]\phi’(x)$。下限同理。
- 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，函数 $\phi(x),\psi(x)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上可导，当 $x\in[\alpha,\beta]$ 时，$\alpha\le\phi(x),\psi(x)\le b$，则 $\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt=f[\phi(x)]\phi’(x)-f[\psi(x)]\psi’(x)$。
- 被积函数含有上下限参数时，可以进行适当的拆分或换元来让被积函数不含其参数。然后补充一个相关公式：$\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,t)dt=\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt+f(x,\psi(x))\psi’(x)-f(x,\phi(x))\phi’(x)$。
$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,t)dt=\int_{a}^{b}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$。
原函数有关问题
原函数存在定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则变上限积分 $\Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，即 $\Phi’(x)=f(x)$。可以看出，对 $[a,b]$ 上任一固定 $x_0$，当 x $\in[a,b]$ 时变上限积分 $\int_{x_0}^{x}f(t)dt$ 也是 $f(t)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数。总之，连续函数的原函数一定存在。
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不存在原函数。后续详细讨论。
初等函数原函数：初等函数在定义域内连续，因而一定存在原函数，但它的原函数不一定是初等函数，例如 $\int e^{-x^2}dx,\int \frac{sinx}{x}dx,\int cos(x^2)dx,\int \frac{dx}{lnx}$ 等等不可积函数。
不定积分与变限定积分关系: 由原函数存在定理知 $f(x)$ 的变限积分函数是 $f(x)$ 的一个原函数，那么前者补上一个任意常数 $C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分了。设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\int f(x)dx=\int_{x_0}^{x}f(t)dt+C$，其中 $C$ 是任意常数，$x,x_0\in[a,b]$，且 $x_0$ 为某定值。
牛顿莱布尼茨公式：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)dt$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)\big|{a}^{b}=\int{x_0}^{a}f(t)dt-\int_{x_0}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$。
该公式成功将不定积分、定积分和变限积分联系在一起。
该公式一些 开区间和变弱条件推论：
设 $f(x),F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的一个原函数，则 $\int_a^b f(x)dx=F(x)\big|a^b=F(b)-F(a)$。即还需要证明 $F(x)$ 在 $a$ 点的右导数存在并等于 $f(a)$ 以及 $f(x)$ 在 $b$ 点左导数存在并等于 $f(b)$。那么有 $F’+(a)=\lim\limits_{x\to a^{+0}}\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\lim\limits_{x\to a^{+0}}F’(x)=\lim\limits_{x\to a^{+0}}f(x)=f(a)$。在 b 点同理可证明。
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的一个原函数，又有 $F(a+0)=\lim\limits_{x\to a+0}F(x)$，$F(b-0)=\lim\limits_{x\to b-0}F(x)$ 都存在，则 $\int_a^b f(x)dx=F(x)\big|_{a+0}^{b-0}=F(b-0)-F(a+0)$。对比推论 1 少了 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续的条件，这里条件并没有给出 $f(a)、F(b)$ 相关信息，但却知道 $F(x)$ 在 $x=a$ 处右极限存在和 $x=b$ 处左极限存在。所以可以自定义一个端点值来构造一个连续函数：
$G(x)=\left{
\begin{array} aF(a+0), & x = a,\F(x),& a < x < b,\F(b-0), & x = b,
\end{array} \right.$$，则$G(x)$在$[a, b]$连续，且当$x\in(a, b), G’(x)= f(x)$，根据推论 1 有：$\int_a^b f(x)dx = G(x)\big|_{a}^{b}= G(a)-G(b)= F(b-0)-F(a+0)$。得证。设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$F(x)$ 在 $[a.b]$ 上除去 $c\in (a,b)$ 连续，$F(c-0)$ 与 $F(c+0)$ 存在，且 $F’(x)=f(x),x\in(a,b),x\not=c$，则 $\int_a^bf(x)dx=F(x)\big|a^{c-0}+F(x)\big|{c+0}^{b}=f(b)-F(c+0)+F(c-0)-F(a)$。
看成两个区间 $[a,c)$ 与 $(c,b]$ 来处理，分别在两个区间上构造连续函数即可证明。
原函数存在性问题
如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上除了点 $c\in(a,b)$ 外均连续，$c$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点，讨论 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是否有原函数。
假设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的原函数，则 $F’(c)=\lim\limits_{x\to c}\frac{F(x)-F(c)}{x-c}=\lim\limits_{x\to c}=\lim\limits_{x\to c}f(x)$，严谨来说应该分两边来写：$F’+(c)=\lim\limits{x\to c+0}f(x),F’-(c)=\lim\limits{x\to c-0}f(x)$。若 c 是可去间断点，则 $\lim\limits_{x\to c+0}f(x)=\lim\limits_{x\to c-0}f(x)\not=f(x)$，所以 $F’(c)=\lim\limits_{x\to c}f(x)\not=f(c)$，与假设矛盾；若 c 是跳跃间断点，则 $\lim\limits_{x\to c+0}f(x)\not=\lim\limits_{x\to c-0}f(x)$，即 $F’+(c)\not=F’-(c)$，所以 $F(x)$ 点 $c$ 处不可导，与假设矛盾；若 c 是 $f(x)$ 的 $\infty$ 型第二类间断点，由上有 $F’(c)=\lim\limits_{x\to c}f(x)=\infty$，即 $F’(c)$ 不存在，与假设矛盾；若 c 是 $f(x)$ 的非 $\infty$ 型第二类间断点，则需要根据 $f(x)$ 具体表达式分析。
若假设 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$。若 $f(x)$ 含有可去间断点，$F(x)$ 可导但不是 $f(x)$ 的原函数；若 $f(x)$ 含跳跃间断点，$F(x)$ 连续但不可导；若 $f(x)$ 含有 $\infty$ 型第二类间断点，$f(x)$ 无界，不可积；若 $f(x)$ 含有非 $\infty$ 型第二类间断点，具体分析。
奇偶函数与周期函数的积分性质
对称区间上奇偶函数定积分
- 偶倍奇零
- $F(x)=\int_0^xf(t)dt$，在给定区间，$f(x)$ 为偶(奇)函数，F(x)为奇(偶)函数。
- 当 $f(x)$ 为奇函数时，$f(x)$ 在 $[-a,a]$ 的全体原函数均为偶函数; 当 $f(x)$ 为偶函数时，f(x)在 $[a,-a]$ 只有唯一原函数为奇函数即 $\int_0^xf(t)dt$。
3 证明：$f(x)$ 为奇函数时，令 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$，则 $F(-x)=\int_a^{-x}f(t)dt$，令 $t=-u$，$F(-x)=\int_{-a}^{x}-f(-u)du=\int_{-a}^{x}f(u)du=\int_{-a}^af(u)du+\int_a^xf(u)du=F(x)$，所以无论积分下限取什么，$F(x)$ 都是偶函数。同时若 $f(x)$ 为偶函数则不行，因为无法让 $\int_{-a}^af(u)du$ 这部分等于零了。
周期函数积分
假定函数 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，即对于任意的实数 x 有 $f(x+T)=f(x)$, 在 $[0,T]$ 上 $f(x)$ 可积(或连续)，则
- $\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx$，即任何长度为 $T$ 的区间上积分值都是相等的。
- $\int_0^xf(t)dt$ 以 $T$ 为周期的充要条件是 $\int_0^Tf(t)dt=0$
1 证明：$\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_a^{0}f(x)dx+\int_{0}^{T}f(x)dx+\int_{T}^{a+T}f(x)dx$，对右端最后一个积分换元，令 $x=T+t$，有 $\int_{T}^{a+T}f(x)dx=\int_0^a f(T+t)dt=\int_0^a f(t)dt=-\int_a^{0}f(x)dx$，得证。
或者如果 $f(x)$ 连续，可以通过求导数为零来证明 $\int_x^{x+T}f(t)dt$ 为常数来说明该结论
2 证明：$\int_0^{x+T}f(t)dt=\int_0^x f(t)dt+\int_x^{x+T}=\int_0^x f(t)dt+\int_0^T f(t)dt$。由此加上第一点 可以直接看出。
定积分求 n 项和数列极限
这部分主要看题目就好，一个题型是积分和的与定积分的转换，另一个是给一个数列极限用定积分方式来求得。
最朴素形式：$\lim\limits_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})=\int_0^1 f(x)dx$
通用形式：$\lim\limits_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{b-a}{n}f(a+\frac{i(b-a)}{n})=\int_b^af(x)dx$ 与 $\lim\limits_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{b-a}{n}f(a+\frac{(i-1)(b-a)}{n})=\int_b^af(x)dx$
看变元范围时要取极限，所以对于通用形式第二个，$1\le i\le n,a\le a+\frac{(i-1)(b-a)}{n}\le \lim\limits_{n\to\infty}a+\frac{(n-1)(b-a)}{n}=b $
所以变元中不要被 i-1 迷惑。然后切割区间数量($\frac{b-a}{n}$)和变元范围对应就好。
基本积分与积分法则
这部分主要是用于不定积分的计算，也是定积分的基础。一些特殊手法可以记录，但不要死磕。该部分定理较少，主要以题型补充说明。
积分表
基本：该部分自行记忆即可，提一下 $\frac{1}{x}$。关于它的不定积分有两种说法，一是 $\int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C$，这种就是分区间讨论，然后将其合并或者说简易地写成这样。另一种是$$\int\frac{1}{x}dx =\left{
\begin{array} alnx+C_1, & x > 0,\ln^{-x}+C_2,& x < 0,
\end{array} \right.$$，它认为当$x > 0$和$x < 0$时绑定的不应该是同一种$C$，而且根据原函数定义：$F’(x)= f(x)$需要在区间$I$上恒成立，而对于$\frac{1}{x}$，$0$不在定义域内，所以它个定义域应该是分为两个区间$I_1$与$I_2$，理应分开书写。
好像各类数分教材都是用得第一种，但个人认为第二种才是对的，考研应该考虑第一种就好。
扩充：
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$
$\int \sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{a^2}{2}ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}+C$
这三个用后续的三角换元都可以求出来，按需求记忆。
积分法则
分项积分法：将复杂的积分函数分解成几个简单的函数之和，利用了不定积分的线性可加性。
直接拆：$\int\frac{1+x}{1+x^2}dx=\int\frac{1}{1+x^2}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}d(x^2+1)$
凑项拆：$\int\frac{dx}{x^4(1+x^2)}=\int\frac{1+x^2-x^2}{x^4(1+x^2)}dx=\int\frac{dx}{x^4}-\int\frac{dx}{x^2}+\int\frac{dx}{1+x^2}$
分段积分法：分段函数的积分要分段计算，本质就是找分段点：定积分正常计算就好, 难点在于若被积函数的原函数是分段表示的，则也要用分段积分法来求；不定积分的分段积分有两种方法，一种是利用原函数存在定理直接求原函数 $\int_a^xf(x)dx,x\in[a,b]$，然后就回到被积函数分段求定积分一样地计算，最后补上常数；第二种就是在每个区间分别求不定积分，再选取常数来连接两段。
被积函数分段求定积分：$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)min{\frac{1}{2},cosx}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}xmin{\frac{1}{2},cosx}dx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}min{\frac{1}{2},cosx}dx$ $=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}min{\frac{1}{2},cosx}dx=2(\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{2}dx+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx)=A$ (不求了 >_<)
被积函数原函数分段求定积分：计算定积分 $I=\int_0^{\pi}\frac{dx}{a^2sin^2x+b^2cosx}(a>0,b>0)$。
若用牛顿莱布尼茨公式，则 $I=\int_0^{\pi}\frac{d\frac{a}{b}tanx}{ab[1+(\frac{a}{b}tanx)^2]}=\frac{1}{ab}arctan(\frac{a}{b}tanx)\big|_0^{\pi}=0$。因为 $\frac{1}{ab}arctan(\frac{a}{b}tanx)\big|0^{\pi}$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处无定义，所以它只是分别在 $[0,\frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2},\pi]$ 上是被积函数的原函数，所以不能在 $[0,\pi]$ 上对积分 $I$ 使用牛顿莱布尼茨公式(不满足使用条件)。
实际计算：$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{a^2sin^2x+b^2cosx}+\int{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{dx}{a^2sin^2x+b^2cosx}=\frac{1}{ab}arctan(\frac{a}{b}tanx)\big|0^{\frac{\pi}{2}-0}+\frac{1}{ab}arctan(\frac{a}{b}tanx)\big|{\frac{\pi}{2}+0}^{\pi}=A$，也是牛顿莱布尼茨公式推论的应用。
拿这个例子再说一下原函数存在定理，对于 $f(x)=\frac{1}{a^2sin^2x+b^2cosx}$，它在 $[0,\pi]$ 上是连续的，那么按照定理来说，$\int_a^xf(t)dt$ 就一定是 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的原函数，但根据之上的分析，$\frac{1}{ab}arctan(\frac{a}{b}tanx)$ 这个不定积分积分结果在该区间却有个间断点 $x=\frac{\pi}{2}$。
原因在于 $\int_a^xf(t)dt$ 与 $\frac{1}{ab}arctan(\frac{a}{b}tanx)$ 并不完全等同，后者在积分时运用了 $u=tanx$ 变量代换，天然地引入了无定义点 $x=\frac{\pi}{2}$。所以二者在图像上一致，只是后者挖去了一个点，可以自己补上该点然后通过拼接得到 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 的原函数。
书上说求该函数不定积分的话，能得到 $\int\frac{dx}{a^2sin^2x+b^2cosx}=\frac{1}{ab}arctan(\frac{a}{b}tanx)+C$ 就算可以了。但是如果题目求得是 $\int_a^xf(t)dt$，应该还是需要分区间和补点然后拼接的。
不定积分的分段积分：设函数$f(x)=\left{
\begin{array} ax^2, & 0\le x\le 1,\2-x,& 1 < x\le 2,
\end{array} \right.$并记$ F(x)=\int_0^x f(t)dt(0\le x\le 2)$，求$ F(x)$和$\int f(x)dx$。
方法一：当 $0\le x\le 1$ 时，$F(x)=\int_0^x t^2dt=\frac{x^3}{3}$；当 $1<x\le 2$ 时，$F(x)=\int_0^1t^2dt+\int_1^x(2-t)dt$
$=-\frac{7}{6}+2x-\frac{x^2}{2}$。而 $\int f(x)=F(x)+C$。这里 $F(x)$ 一定连续，不需要配平常数的原因可以用原函数存在定理解释，主要就是 $\int_0^1t^2dt$ 该部分使其连续。
补充一下，如果是要利用变限积分求不定积分更方便是用 $\int_1^xf(x)dx$，即下限取分界点，可以少积分一次。
方法二：$\int x^2=\frac{x^3}{3}$，$\int(2-x)dx=2x-\frac{x^2}{2}$，然后需要两者在 x = 1 时连续，所以选取 $C=-\frac{7}{6}$，有$\int f(x)=\left{
\begin{array} a\frac{x^3}{3}, & 0\le x\le 1,\2x-\frac{x^2}{2}-\frac{7}{6},& 1 < x\le 2
\end{array} \right. +C$ 。该方法在这题仅针对求不定积分。
换元积分法
第一换元积分法(凑微分法)：本质是 $\int f[\phi(x)]\phi’(x)dx$ 不好求，但是 $\int f(u)du$ 好求，所以将前者凑微分成 $\int f[\phi(x)]d\phi(x)$ 然后通过 $u=\phi(x)$ 换元来求。例如：$\int \frac{f(tanx)}{cos^2x}dx=\int f(tanx)d(tanx)$。该部分通过题目来熟悉，不过多讲解，后续补充题目。
第二换元积分法：本质是 $\int f(u)du$ 不好求，但是 $\int f[\phi(x)]\phi’(x)dx$ 好求，后续的一些换元也是基于此。例如三角还原 $x=asint$，倒代换 $x=\frac{1}{t}$ 等。
定积分换元积分法：上述的两个方法也是适用定积分，只是定积分还需要考虑换元后上下限的变化。若有替换 $x=\phi(t)$，并且 $\phi(\alpha)=a,\phi(\beta)=b$，当 $\alpha\le t\le\beta(或者\beta\le t \le\alpha)$ 时，$a\le \phi(t)\le b$。那么有 $\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\phi(t)]d\phi(t)$。这里一定是 $\alpha$ 为下限和 $\beta$ 为上限，不管 $\alpha$ 是否小于 $\beta$。
常用变量替换：
三角函数替换：三角函数替换用于被积函数中含有二次根式的积分，有三种常见类型：
根式 替换 $\sqrt{a^2-x^2}$ $x=asint,-\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2}$ $\sqrt{a^2+x^2}$ $x=atant,-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$ $\sqrt{x^2-a^2}$ $x=asect,0\le t\le\pi,t\not=\frac{\pi}{2}$ t 范围的界定：因为最后积分结果还需要还原变量，所以需要 t 的范围内确保替换是双射的；然后由于开根号是正数，所以需要限定 t 范围让其出来为正数可以方便去掉绝对值。考虑这两点可以得到上述范围。写解答题时需要标记 t 范围。
如果遇到 $\sqrt{Ax^2+Bx+C}$ 可以通过配方法化成上述三种之一再进行替换。幂函数替换、指数函数替换和倒代换：都需要根据具体题目处理。被积函数含有 $\sqrt[n]{ax+b} $ 和 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 等，考虑将整个根式替换成 t 来去掉根号；被积函数含 $e^x$ 或 $a^x$ 时，考虑 $t=e^x$ 和 $t=a^x$ 替换；被积函数的分母最高次数高于分子的最高次数时，考虑倒代换 $x=\frac{1}{t}$。
分部积分法
$\int uv’dx=\int udv=uv-\int vdu$。定积分补上上下限即可。难点在于何如合理的选择 $u$ 和 $dv$ 部分。
| 被积函数形式 | 方式 |
|---|---|
| $P_n(x)e^ax,P_n(x)sin\alpha x,P_n(x)cos_\alpha x$，$P_n(x)$ 为 $n$ 次多项式，$\alpha$ 为常数 | 进行 n 次分部积分，每次均取指数或三角函数部分作为 $v’(x)$，而多项式为 $u(x)$ |
| $P_n(x)lnx,P_n(x)arcsinx,P_n(x)arctanx$，即多项式与对数函数或反三角函数的乘积 | 取 $P_n(x)$ 为 $v’(x)$，对数或反三角部分为 $u(x)$ |
| $e^{\alpha x}sin\beta x,e^{\alpha x}cos\beta x$ | 取指数部分为 $v’(x)$，三角函数部分为 $u(x)$，进行两次分部积分可解方程 |
分部积分不一定一次就出结果，需要两次分部积分找到联立方程解出，如上例；可能需要分部积分来推导出递推公式来求，例如求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx$ 和 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx$
几种特殊类型函数的积分
有理函数的积分
这部分倒不是积分难，而是拆分难。对于 $\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$，如果 $n \ge m$，将其拆分为多项式与真分式之和，再对真分式拆分成部分分式(待定系数法)，因此其积分可以化为多项式和几类特定类型的积分和。
待定系数法拆分：设有真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，$Q(x)$ 已被因式分解。
若分母有一个因子 $(x-a)^n$，则分解式有对应项 $\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+···+\frac{A_n}{(x-a)^n}$
若分母中有一个因子 $(x^2+px+q)^n(p^2-4q<0)$ 则分解式有 $\frac{A_1x+B_1}{x^2+px+q}+···+\frac{A_nx+B_n}{(x^2+px+q)^n}$
然后就是对上述几种分式的积分：
$\int \frac{A}{x-a}dx=Aln|x-a|+C$
$\int \frac{A}{(x-a)^m}dx=-\frac{A}{m-1}·\frac{1}{(x-a)^{m-1}}+C \quad (m\not=1)$
$\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$
